This is an old one, but I might not find it anywhere else. Relatia de identitate e weird. Pe de o parte, toti am invatat la scoala ca e o relatie de echivalenta. Adica e reflexiva (orice lucru e identic cu el insusi), simetrica (daca un lucru e identic cu altul, atunci si ala e identic cu primul) si tranzitiva (you get the idea).
Exista, pe de alta parte, o clasa de relatie care nu sunt simetrice. Relatia de ordine stricta, de pilda. Daca un numar e mai mare decat altul, atunci ala nu are cum sa fie, la randul lui, mai mare decat primul. 🙂
Unele relatii nesimetrice au o particularitate. Daca relatia are totusi loc “in ambele sensuri”, atunci asta inseamna ca obiectele intre care are loc relatia sunt de fapt unul si acelasi obiect.
Relatia de incluziune, de pilda, e asa. In mod obisnuit, daca o multime e inclusa in alta, atunci aia nu e si ea inclusa in prima. Dar daca totusi este, atunci inseamna ca e vorba de una si aceeasi multime, care e inclusa in ea insasi (relatia de incluziune e reflexiva).
Proprietatea asta se cheama antisimetrie. Formal e exprimata asa:
(x)(y)(xRy & yRx) -> (x=y)
Adica, pentru oricare doua obiecte x si y, daca relatia R tine intre x si y si tine si intre y si x, atunci x e acelasi cu y. Iar acum sa vedem ce se intampla daca in loc de R luam chiar relatia de identitate.
(x)(y)(x=y & y=x) -> (x=y)
Pare cam ciudat, dar merge. Altfel spus, relatia de identitate e antisimetrica. Dar antisimetria parea sa fie o proprietate pe care o aveau unele dintre relatiile nesimetrice, in timp ce identitatea era o relatie simetrica.
Wtf!?
p.s. (pentru cei care se ingrijoreaza ca Gramo sta prea mult timp pe blog): acest post a fost scris in 5 minute.
relatia de identitate si cea de antisimetrie pot fi explicate la oameni cu ajutorul afectiunilor psihice. adica, pot fi un singur individ, dar pot avea personalitati incompatibile, ca noi toti dealtfel. si cand spun noi, ma refer la mine. si la mine.
You need a beer, dude! 😀
da, relatia de identitate e atat simetrica, cat si asimetrica, pentru ca e cumva o patologie.
intrebarea e daca e singura relatie cu aceste doua proprietati. raspunsul e ca e singura relatie reflexiva simetrica si asimetrica.
iata de ce. R e o relatie reflexiva, simetrica si asimetrica. trebuie sa arati ca xRy x=y. implicatia “”, trebuie sa arati ca daca xRy atunci x=y. cum xRy, din simetrie rezulta si yRx. deci ai xRy & yRx. din antisimetrie rezulta ca x=y.
si e usor sa construiesti relatii simetrice si asimetrice si care nu sunt reflexive. spre exemplu, considera doar doua obiecte, x si y, si definesti aRb daca si numai daca a=x si b=x. atunci e clar simetrica si antisimetrica, dar nu e relatia de identitate.
regards,
ws
nu imi dau seama de ce, dar parte din mesajul meu a aparut trunchiat, asa ca reiau paragraful al doilea, poate iese bine de data asta:
iata de ce. R e o relatie reflexiva, simetrica si asimetrica. trebuie sa arati ca xRy x=y. implicatia “” trebuie sa arati ca daca xRy atunci x=y. cum xRy, din simetrie rezulta si yRx. deci ai xRy & yRx. din antisimetrie rezulta ca x=y.
@alecs: errrr,… in chestia de aici nu e nimic psihologic; e vorba de proprietatile formale ale relatiei de identitate.
@Marc: lol 🙂
@ws: scuze, dar n-am inteles ce vrei sa spui.
@gramo
nici a doua oara nu mi-a iesit postarea cum trebie, asa ca am lasat-o balta.
pe scurt:
1.identitatea e atat simetrica cat si antisimetrica pentru ca e cumva exceptionala in cadrul tuturor relatiilor.
2. nu e singura relatie de acest fel, se pot imagina alte relatii ce sunt atat simetrice cat si antisimetrice.
3. in schimb identitatea e singura relatie reflexiva, simetrica si antisimetrica.
atat.
regards,
ws
Sunt doua feluri in care o relatie poate sa nu fie simetrica: pentru ca unora dintre perechile din domeniu nu li se aplica relatia (in cazul acesta relatia ar fi nonsimetrica), sau pentru ca nici uneia din perechi nu i se aplica relatia (caz in care relatia ar fi asimetrica).
Asa cum am inteles eu lucrurile, relatia antisimetrica nu este un tip de relatie nonsimetrica, si nici un tip de relatie asimetrica – deci antisimetria nu este un tip de nesimetrie (aceasta nu inseamna ca, de exemplu, unele relatii nu pot fi asimetrice si antisimetrice).
Antisimetria poate fi doar detectata prin apel la asimetrie: daca atunci cand aplicam o relatie R la perechi de obiecte in care x si y sunt distincte obtinem o relatie asimetrica, atunci relatia R este antisimetrica.
S-ar putea insa ca felul in care am inteles eu lucrurile sa nu fie corect 🙂