[old stuff left here to be dealt with later; probabil e o aiureala; oricum, nu va bateti capul]

Rn e o structura = o relatie cu un numar indefinit de locuri (poate infinit numarabil)

– o Rn nu poate fi complet simetrica decat daca exista o alta relatie astfel incat, pentru unele din obiectele ce ocupa pozitii in Rn, acestea vor ocupa pozitii pe locuri asimetrice in acea relatie;

– altminteri, Rn este asimetrica partial pt. 1 R(xi,…….,xi-1,x0,xi+1,…….,xn)] &
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,xi,….,xi-1,x1,xi+1,…….,xn)] &…&
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,….,xi,xi-1,xi-2,xi+1,…..,xn)] &
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,…,xi-2,xi,xi-1,xi+1,……,xn)] &
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,……,xi-1,xi+1,xi,xi+2,…,xn)] &
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,……,xi-1,xi+2,xi+1,xi,…,xn)] &…&
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,……,xi-1,xn-1,xi+1,…,xi,xn)] &
~[R(x0,…,xi,…,xn) R(x0,…….,xi-1,xn,xi+1,…….,xi)] &

nota: nu conteaza, desigur, pozitia lui xi in sirul variabilelor; cand
vorbesc despre o relatie Rn/1 am in vedere o anumita relatie cu un loc
asimetric, indiferent ca acesta ar fi reprezentat asa R(x…..) sau
asa R(…x…) sau asa R(….x); la fel, pentru Rn/2, urmatoarele
notatii posibile sunt echivalente: R(x…y…), R(xy….), R(…xy…)
s.a.m.d.

– atunci cand 1 (..zy,……)] &…&
~[(yz,…..) (..z,..,y,..)] &…&
~[(yz,…..) (..z,…..,y)] &…&
~[(yz,…..) (y..,z,…..)] &…&
~[(yz,…..) (y..,……z)] & ~[(yz,…..) (zy,…..)]

un alt exemplu: Rn/k/l/m este o structura de n locuri, din care k sunt
asimetrice, din care l sunt asimetrice, din care m sunt asimetrice
(iar cele m ramase se presupune ca sunt pozitii simetrice)

– orice Rn/…/k/l e o structura izomorfa cu Rn/…/k/k-l, desigur;

– putem avea structuri total asimetrice Rn/n (sau Rn/n-1/n-2/n-3/…/1),
de pilda relatiile de ordine; orice extragere aleatoare a tuturor numerelor
naturale dintr-un saculet poate fi reprezentata printr-o structura asimetrica;

– o structura cu un numar infinit numarabil de locuri, din care infinit de multe
submultimi infinite sunt parti asimetrice egale de dimensiuni, poate fi reprezentata astfel: Rn/k/k/…/k, unde k de pilda: pt R o structura de ordine de tot atatea locuri ca si W, vom avea o anumita ordonare a obiectelor din W; R’ ar putea fi o alta structura de ordine:
ex:
W: 8 2 6 1 9 3 ….
R: 0 1 2 3 4 5 ….
R’: 1 3 6 9 12 15 ….

– o structura de tipul Rn/…/k/k-1/k-2/…/k-(k+2)/k-(k+1) are k locuri complet
nesimetrice, adica atat asimetrice fata de celelalte pana la n, cat si nesimetrice
reciproc; putem alege o notatie speciala pt. aceasta: Rn/~k;

de ex: in loc de Rn/2/1 vom scrie: Rn/~2
Suprapunerea unei structuri de tipul Rn/k/k/…/k (cu variantele pt. parti
de marimi inegale etc.) cu structuri de tipul Rn/~k pentru unele din partile
primei structuri se poate scrie: Rn/~k/k/…/~k

ex: R8/~2/3/~3
Doar urmatoarele sunt echivalente:
R(x1,x2, x3,x4,x5, x6,x7,x8)
R(x1,x2, x4,x3,x5, x6,x7,x8)
R(x1,x2, x5,x4,x3, x6,x7,x8)
R(x1,x2, x3,x5,x4, x6,x7,x8)

Se observa insa ca toate structurile de acest tip revin la structuri care au o
parte complet nesimetrica si una sau mai multe parti simetrice: R8/~2/3/~3
revine de fapt la R8/~5; O structura nu poate avea mai multe parti cu locuri
total nesimetrice, parti din care locurile uneia sa fie asimetrice fata de
cele ale celeilalte. Pe scurt, nu exista nici o diferenta intre:
(…xy…z…vw) si (………xyzvw) daca x, y, z, v si w sunt toate nesimetrice
intre ele.

– Rn/1 si Rn/~1 sunt izomorfe

– puterea de expresie a unei structuri e data de marimea partii total nesimetrice a acelei structuri si de numarul de parti asimetrice;

– ce inseamna ca doua structuri pot fi suprapuse?
Sup(Rn/3, Rn/2) = Rn/3/2
Sup(Rn/3, Rn/1) = Rn/3/1
Sup(Rn/k, Rm/l) unde k =7 si n in celelalte cazuri
exemplu: Sup(R8/~3, R8/~2) = R8/~5

Mai departe:
Sup(Rn/…k/~l, Rm/…/o/~p), unde k nota1: partile asimetrice ale structurii sunt tratate ca niste multimi, iar cand
suprapunem structurile consideram ca aceste parti neaparat se intersecteaza, sau
sunt incluse unele in altele, in timp ce partile complet nesimetrice sunt vazute
ca niste multimi care nu se intersecteaza; aceasta pentru ca fiecare obiect
dintr-o astfel de parte e distinct si nu avem de ce sa asumam ca e vorba de
acelasi obiect care ocupa aceeasi pozitie in cadrul unei structuri si in
cadrul celeilalte.

nota2: suprapunerea structurilor este o operatie pur formala

– un sistem deductiv axiomatic are de obicei urmatoarea structura:
Rn/k/…/l, unde n e numarul total de formule ale sistemului, n-k
reprezinta numarul de axiome (si eventual si reguli de deductie), iar
urmatoarele parti se disting prin faptul ca formulele din setul respectiv
pot fi deduse din cele din setul mai mare; exista de obicei o structura
de tip Ro/p, care imparte formulele in siruri oarecare de semne din
vocabular si formule bine formate; pt. un sistem consistent in sensul
cel mai larg, p > n